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Strömungen kleiner Mach-Zahl


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Abstract
Praxisrelevante Strömungen in unterschiedlichen technischen, marinen und atmosphärischen Anwendungsbereichen werden durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben, die ein gemischt hyperbolisch-parabolisches System von Erhaltungsgleichungen darstellen. Besitzen die auftretenden Reibungseffekte einen untergeordneten Einfluss auf das Gesamtverhalten der Strömung, so liefern die durch Vernachlässigung der Viskositätsterme und Wärmeflüsse aus den Navier-Stokes-Gleichungen hervorgehenden Euler-Gleichungen eine adäquate Beschreibung der physikalischen Phänomene. Der als Mach-Zahl bezeichnete Quotient aus der Strömungsgeschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit besitzt unabhängig von den betrachteten Euler- respektive Navier-Stokes-Gleichungen einen starken Einfluss auf die Eigenschaften des vorliegenden Strömungsfeldes. Kompressible Strömungsfelder mittlerer bis großer Mach-Zahlen sind durch Expansionsfächer, Kontaktunstetigkeiten und Stoßwellen gekennzeichnet. Während Verdünnungswellen einen glatten Übergang der physikalischen Größen beinhalten, weisen Kontaktunstetigkeiten und Stoßfronten Sprünge in unterschiedlichen Variablensätzen auf. Strömungen im Bereich kleiner Mach-Zahl sind dagegen durch einen weitgehend konstanten Hintergrundsdruck, akustische Druckwellen kleiner Frequenz und Amplitude sowie hochfrequente Druckfluktuationen mit nahezu verschwindender Amplitude charakterisiert, wobei die beiden letztgenannten Druckanteile trotz ihrer geringen Wertigkeit einen wesentlichen Einfls auf das vorliegende Geschwindigkeitsfeld aufweisen. Treten schnelle Wechsel zwischen den angesprochenen Bereichen auf, wie beispielsweise bei Übergängen von der Deflagration bei einer Mach-Zahl im Bereich 0.0001 bis 0.001 zur Detonation mit einer Mach-Zahl zwischen $5$ und $10$, muss bei einer numerischen Simulation den unterschiedlichen physikalischen Phänomenen geeignet Rechnung getragen werden. Unterschiedliche Autoren berichten von Genauigkeits- und Effizienzeinbrüchen kompressibler Verfahren im Bereich kleiner Mach-Zahlen, die auch durch gezielte mathematische Untersuchungen belegt werden. Dagegen sind herkömmliche Verfahren, die auf den inkompressiblen Gleichungen beruhen, nicht direkt zur Berechnung kompressibler Strömungen geeignet. Die Simulation instationärer Strömungen sehr unterschiedlicher Mach-Zahlen kann demzufolge von derartigen Verfahren nicht angemessen durchgeführt werden. Zielsetzung des Projektes ist die Entwicklung global gültiger Verfahren auf der Basis einer von R. Klein vorgestellten asymptotischen Mehrskalenanalyse. Wir betrachten hierbei zwei unterschiedliche Vorgehensweisen. Im Kontext räumlich eindimensionaler Strömungsfelder nutzen wir ein auf einer additiven Zerlegung der Flussfunktion basierendes Flusskorrekturverfahren, das unabhängig von der vorliegenden Mach-Zahl räumlich und zeitlich von zweiter Ordnung genau ist. Die Berechnung langwelliger Druck- und Impulsanteile wird simultan zur Entdimensionalisierung der Strömungsgrößen und der Festlegung der Mach-Zahl auf der Basis neuartiger Verfahren der Bildverarbeitung durchgeführt. Diese Vorgehensweise sichert stets eine sinnvolle Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen und passt sich adaptiv dem vorliegenden Strömungsfeld an. Durch die implementierte Zeitabhängigkeit der Mach-Zahl liegt zudem ein physikalisch gesteuerter Übergang zwischen einem kompressiblen Verfahren und einem asymptotisch basierten Algorithmus vor. Im Kontext zweidimensionaler Strömungsfelder folgen wir einer erstmals von Guillard und Viozat vorgestellten Vorgehensweise, bei der eine gezielte Präkonditionierung der numerischen Dissipation innerhalb der numerischen Flussfunktion derart vorgenommen wird, dass die numerisch berechneten Druck- und Geschwindigkeitsfelder den Resultaten der kontinuierlichen asymptotischen Analyse im diskreten Sinne genügen.


Principal Investigator


Co-Investigators


Publications
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Last updated on 2018-19-07 at 09:39